Семинары 2014-2015

Рассматривается задача о колебании растянутого жестко заделанного стержня. Получены точное численное решение, численные решения по первому приближению метода Вишика и Люстерника и по методу динамического краевого эффекта при числе волн 1 и 5. На основе полученных результатов проведена оценка областей применимости первого приближения метода Вишика и Люстерника и метода динамического краевого эффекта. Для тех областей, где указанные методы дают решения максимально далекие от точного, найдены относительные погрешности приближенных решений.

В настоящей работе исследуется поведение мобильной робототехнической платформы на роликонесущих колесах, т.н. омни-колесах. Рассматриваются случаи трех и четырех колес. Предполагается, что движение каждого колеса в продольном направлении происходит без проскальзывания, что порождает собой систему с неголономными связями. На основании уравнений Маджи построены математические модели движения аппаратов. Произведено численное решение уравнений движения омнимобильных роботов для различных случаев управляющих моментов, а также решена прямая задача для некоторых видов движений.

Проведено исследование течения полярной и неполярной жидкостей в нанотрубках, помещенных в различные среды, методом молекулярной динамики. Обнаружено, что структура нанотрубок оказывает сильное влияние не только на скорость течения, но и на его вид. Траектории молекул жидкости приобретают винтовую форму. В работе продемонстрировано, что течение жидкости в нанотрубке отличается от классического. Обнаружен переходный режим движения между неподвижной и текущей жидкостью. Выявлена ненулевая сила страгивания для жидкости в этих условиях. Обнаружена зависимость параметров течения от полярности жидкости. Показано, что для многослойных трубок влияние окружающей жидкости на течение внутри трубки заметно ниже, чем в случае однослойных трубок.

Переломы костей опорно-двигательного аппарата являются распространенным повреждением. Довольно часто требуется оперативное вмешательство для фиксации отломков. В данной работе рассматриваются математические модели остеосинтеза переломов шейки бедренной кости и длинных трубчатых костей. В первом случае фиксация осуществляется посредством специальных винтов. Во втором – с помощью упругой вставки. Анализ напряженно-деформированного состояния конструкций проведен на основе теории изгиба балок.

Рассматривается устойчивость под действием внешнего давления цилиндрической оболочки, подкрепленной одинаковыми круговыми стержнями (шпангоутами) с прямоугольными поперечными сечениями, и гладкой оболочки имеющей такие же размеры срединной поверхности и изготовленной из того же материала. Предполагается, что подкрепленная и гладкая оболочки теряют устойчивость при одинаковом критическом давлении. Для определения критического давления используются асимптотические формулы. В явном виде получены формулы для вычисления приближенных значений оптимальных параметров подкрепленной оболочки, которым соответствует минимальное значение отношения массы подкрепленной оболочки к массе гладкой оболочки. Показано, что при увеличении отношения ширины шпангоута к его толщине, отношение масс уменьшается. Проведен расчет оптимальных параметров. Результаты работы могут быть использованы при проектировании тонкостенных конструкций.

Рассматривается устойчивость под действием внешнего давления цилиндрической оболочки, подкрепленной одинаковыми круговыми стержнями (шпангоутами) с прямоугольными поперечными сечениями, и гладкой оболочки имеющей такие же размеры срединной поверхности и изготовленной из того же материала. Предполагается, что подкрепленная и гладкая оболочки теряют устойчивость при одинаковом критическом давлении. Для определения критического давления используются асимптотические формулы. В явном виде получены формулы для вычисления приближенных значений оптимальных параметров подкрепленной оболочки, которым соответствует минимальное значение отношения массы подкрепленной оболочки к массе гладкой оболочки. Показано, что при увеличении отношения ширины шпангоута к его толщине, отношение масс уменьшается. Проведен расчет оптимальных параметров. Результаты работы могут быть использованы при проектировании тонкостенных конструкций.

Рассматривается двумерная задача о распространении диффундирующего вещества на водной поверхности. Такая модель может быть использована, например, для изучения времени жизни «пятна» токсичных веществ на поверхности воды. Для изотропной среды математическая модель представляет собой краевую задачу для уравнения диффузии, аналитическое решение которой может быть получено с помощью метода Фурье с последующим разложением произвольной функции по функциям Бесселя. В работе построенное аналитическое решение сравнивается с численными решениями краевой задачи, полученными в пакетах Mathematica и MatLab. Исследована зависимость размера «пятна» загрязнения от времени, а также влияние геометрических и физических параметров на величину радиуса «пятна».

Также рассматривается пространственная задача о распространении токсичных веществ, попавших на плоское дно. Определена область, где концентрации токсичных веществ выше предельно допустимой и исследована динамика этой области.

В работе найдены критическая нагрузка и форма потери устойчивости круговой трансверсально изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Предполагается, что криволинейный край оболочки слабо закреплен или свободен. При этом возможно появление формы потери устойчивости, локализованной вблизи этого края, с одновременным снижением критической нагрузки. Ранее эта задача была решена исходя из двухмерной модели Кирхгофа-Лява (КЛ). Здесь предполагается, что жесткость на поперечный сдвиг мала, и для решения используется модель Тимошенко-Рейсснера (ТР). Безразмерная критическая нагрузка зависит от двух основных безразмерных параметров - параметра волнообразования в окружном направлении q и параметра поперечного сдвига g. При волнообразовании внутри оболочки имеет место осесимметричная потеря устойчивости (q=0). При g=0 имеем классическое значение нагрузки, полученное исходя из модели КЛ. С ростом g (или с уменьшением жесткости на поперечный сдвиг) нагрузка убывает по линейному закону вплоть до значения g=1. При g большем или равном 1 материал теряет устойчивость.

Доклад посвящен обсуждению математической модели, описывающей ключевые механизмы формирования иммунного ответа. Данная модель является качественным обобщением данных о пролиферации и дифференцировке Т- и В-лимфоцитов, полученных иммунологией в течении последних 20 лет. В модели были использованы оригинальные идеи, позволившие с помощью простых уравнений в частных производных достаточно подробно описать сложные иммунные процессы. Модель неоднократно применялась для решения конкретных иммунологических задач. Доклад будет предваряться кратким обзором по математическому моделированию в иммунологии.

В докладе пойдет речь о влиянии геометрических параметров (длина переднезадней оси, диаметр глаза, толщина) и свойств тканей глаза на изменение внутриглазного давления после введение дополнительного объема жидкости. Будут рассмотрены также некоторые аспекты моделирования этой задачи в пакете Comsol Multiphysics.

Рассматриваются малые свободные колебания замкнутой вращающейся цилиндрической оболочки конечной длины, подкрепленной по образующим жесткими цилиндрическими роликами. Для определения низших частот колебаний используется полубезмоментная теория оболочек. Решение ищется в виде ряда Фурье по окружной координате. Увеличение числа членов ряда Фурье N усложнило алгоритм расчета, но позволило найти дополнительные частоты, которые не были найдены в предыдущих работах, где число N предполагалось равным числу роликов. Особенно важно, что для тонких оболочек среди этих дополнительных частот оказались низшие частоты, представляющие наибольший интерес для приложений. Разработан алгоритм аналитического определения частот и форм колебаний.

Проведены вычисления частот и форм колебаний методом конечных элементов. Частоты и формы колебаний найденные по аналитическим формулам сравниваются с результатами численных расчетов. Установлено, что при достаточно больших значениях N полубезмоментную теорию можно использовать для оценки первых двух-трех частот.

Рассматривается трехмерная задача о деформации трансверсально изотропного сферического слоя, находящегося под действием нормального давления. Такая модель может быть использована, например, для описания изменения напряженно-деформированного состояния внешней оболочки глаза при введении внутриглазных инъекций. Для изотропного сферического слоя эта задача известна как задача Ламе. Для трансверсально изотропного слоя аналитическое решение было получено ранее, но формулы, описывающие деформации, оказываются довольно громоздки и для анализа влияния параметров слоя на напряженно-деформированное состояния слоя удобнее использовать асимптотическое решение задачи. Асимптотические соотношения показывают, что при деформации сферического слоя под действием внутреннего давления, относительная толщина слоя меняется тем больше, чем меньше толщина слоя. Изменение толщины склеральной оболочки при увеличении внутриглазногр давления, как один из результатов представленного моделирования, согласуется с имеющимися данными о том, что при глаукоме, глазном заболевании, сопровождающимся, как правило, повышенным уровнем внутриглазногр давления, также наблюдается уменьшение толщины склеры. Зная относительное изменение толщины сферического слоя при увеличении внутреннего давления, например, при введении внутриглазных инъекций, можно оценить отношение радиального и тангенциального модулей упругости склеральной оболочки.